全然<a class="okeyword" href="g:mohican:keyword:エレガント">エレガント</a>でない解法

ルート2のルート2のルート2のルート2の…

求めるのは→ $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots }}}}$

$a_n = \prod_{i=1}^n 2^{\left( \frac{1}{2} \right)^i }$
対数とって
$\log a_n = \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{2} \right)^i \log 2$
$n \rightarrow \infty$ のとき
$\log a_n \longrightarrow \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \log 2 = \log 2$
というわけで
$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 2$
のはず。計算が合ってれば。しかし久しぶりにTeXで数式書いたな。

$a^2 = 2a$ の方法みたく収束性を示す必要もないし、一般化したので2乗根である必要もないし、ルートの中を好きな数字にしてもおk。