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全然<a class="okeyword" href="g:mohican:keyword:エレガント">エレガント</a>でない解法

ルート2のルート2のルート2のルート2の…

求めるのは→\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots }}}}

 a_n = \prod_{i=1}^n 2^{\left( \frac{1}{2} \right)^i }
対数とって
 \log a_n = \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{2} \right)^i \log 2
n \rightarrow \inftyのとき
 \log a_n \longrightarrow \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \log 2 = \log 2
というわけで
 \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 2
のはず。計算が合ってれば。しかし久しぶりにTeXで数式書いたな。


 a^2 = 2aの方法みたく収束性を示す必要もないし、一般化したので2乗根である必要もないし、ルートの中を好きな数字にしてもおk。